Mathematik

 


„Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik “ lautet ein Zitat des berühmten deutschen Mathematikers Carl Friedrich Gauß. Ein bisschen Zahlentheorie erfahren auch unsere Schüler. Nachdem sie in der Grundschule mit den Mengen der natürlichen Zahlen N = {1; 2; 3; ...}, der ganzen Zahlen Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...} und der rationalen Zahlen R = {p/q| p e Z; q e N} vertraut gemacht wurden, erfolgt in der Sekundarstufe I das Kennenlernen der reellen Zahlen. Dabei können spannende Entdeckungen (die Zahl Pi, Logarithmen wie z. B. log2, die Werte der Winkelfunktionen usw.) nachvollzogen werden. Aber auch geometrische Sachverhalte kommen nicht zu kurz, so dass den Schülern nach der 10. Klasse die Formeln (und ihre Herleitung!) zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhaltes von Pyramide, Kegel, Kugel usw. vertraut sein sollten. Die folgende Graphik zeigt, dass auch der spielerische Umgang mit Geometrie intellektuell anregend und ästhetisch ansprechend sein kann. 

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Abb. 1: 2 unterschiedliche Lösungen zu der Aufgabe „zeichne viele Kreise durch einen Punkt“ (realisiert mit dem dynamischen Geometriesystem „Geogebra“)

Mathematik wird in den Klassen 7 bis 10 mit vier Wochenstunden unterrichtet. Die mathematisch-naturwissenschaftlichen Profilklassen bekommen in der 8. Klasse sogar noch eine zusätzliche Stunde Unterricht in Mathematik, in der die Arbeit mit modernen technischen Hilfsmitteln im Vordergrund steht. Für interessierte Schüler bietet die Schule zusätzlich  in den Klassenstufen 8 bis 10 ein hochinteressantes und zukunftsweisendes Wahlpflichtfach „Mathematik und Informatik“ mit jeweils 3 (Klasse 8 und 9) bzw. 2 (Klasse 10) Wochenstunden an.

Die Festigung der mathematischen Grundlagen in der Sekundarstufe I hat an unserer Schule einen großen Stellenwert. Aus diesem Grund schreiben wir in der 8. und 9. Klasse Jahresabschlussarbeiten, in denen der Stoff des gesamten Schuljahres wiederholt wird. Weiterhin werden in den Doppelstunden jeweils zehnminütige mündliche Übungen zum mathematischen Basiswissen durchgeführt, damit das Kopfrechnen nicht ganz „einrostet“ und eine gewisse „intellektuelle Leichtfüßigkeit“ gefördert wird.  In den Klassenarbeiten der Sek I wird in der Regel jeweils 1 Wiederholungsthema integriert. Damit bereiten wir unsere Schüler umfassend und gründlich auf die zentrale Arbeit für den mittleren Schulabschluss (MSA) vor. Diese wird in allen Berliner Schulen am Ende der 10. Klasse geschrieben.

In der sog Qualifikationsphase (11. und 12. Klasse) wandeln die Schüler auf den Spuren von Newton und Leibniz. Hier geht es in der Analysis u. a. um die Behandlung der Infinitesimalrechnung. Aber auch die Analytische Geometrie und die Stochastik kommen nicht zu kurz. Wenn man sich in der Analysis ein wenig mit parametrischen Kurven auskennt, kann man sogar naive Landschaften kreieren (s. Abb. 2).

Abb. 2: Ein „Sommergarten“ (erstellt mit dem dynamischen Geometriesystem „Geogebra“)

Im Leistungs- und im Grundkurskursbereich werden an unserer Schule Computeralgebra- und dynamische Geometriesysteme  („Geogebra“, „TI-NspireCAS“) eingesetzt. Dafür stehen 2 Fachräume mit modernen Computern und jeweils einer Projektionseinrichtung (Beamer oder Smartboard) zur Verfügung. In den letzten Jahren haben unsere Grund- und Leistungskurse die Abiturarbeiten vollständig unter Verwendung des Computeralgebrasystems „TI-NspireCAS“ geschrieben. Unsere Schule nimmt damit eine Vorreiterrolle in Berlin ein!

Die folgende Abb. zeigt die Graphik für das sog. „Problem der vollständigen Serie“. Hierbei wird die Frage untersucht, wie oft man würfeln muss, bis man eine vollständige Serie (d. h. alle Augenzahlen von 1 bis 6) gewürfelt hat. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dazu sieht folgendermaßen aus (s. Abb. 3). Eine solche Aufgabe lässt sich nur noch mit technischen Hilfsmitteln (hier „Geogebra“) und nicht mehr händisch lösen. Man kann aus der Abb. 2 herauslesen, dass die Wahrscheinlichkeit am größten ist, mit 11 Würfen eine vollständige Serie zu erzielen. 

Abb. 3: Problem der vollständigen Serie (bearbeitet mit dem dynamischen Geometriesystem „Geogebra“)

Aber auch die „Kleinen“ kommen nicht zu kurz. Im Wahlpflichtunterricht sowie in allen 9. Klassen verwenden wir Symbolrechner vom Typ „Voyage 200“ bzw. „TI-NspireCAS“. Mit diesen tragbaren Taschencomputeralgebrasystemen lassen sich auch „trockene Themen“ wie z. B. Matrizenrechnung sehr interessant gestalten, indem man z. B. Grundlagen der Computergraphik behandelt (s. Abb. 4).

Abb. 4: Ornament: Mehrfache Drehungen von Kreisen unter Verwendung von Matrizen mithilfe von“ Geogebra“.

Fördern und Fordern ist ein pädagogischer Grundsatz bei uns. Aus diesem Grund lassen wir unsere Schüler selbstständig in Kleingruppen komplexere Themen bearbeiten. Die Arbeitsergebnisse sind auf großen Schautafeln vor oder im Mathematikraum dokumentiert. Projektthemen waren: 1. Kurven in Parameter- und Polarkoordinatendarstellung, 2. Computergraphik, 3. Splineinterpolation, 4. Modellierung der sog. Kaffeetassenkatakaustik, 5. Modellierung eines Springbrunnens, 6. Bézierkurven, 7. Einführung in die Vektoranalysis, 8. Zykloiden, 9. Zentralperspektive, 10. Parabolspiegel, 11. Modellierung gotischer Kirchenfenster, 12. Problem der vollständigen Serie (Markow-Ketten).

Wir halten es auch für wichtig, dass unsere Arbeitsergebnisse nicht nur im „stillen Kämmerlein“ bekannt sind. Auf den zentralen Lehrerfortbildungsveranstaltungen in Berlin haben wir über unsere Arbeit berichtet:

1. Berliner MNU-Kongress (5./6.9.2002)
Im Brennpunkt: Einsatz von Derive 5 im Leistungskurs Mathematik

2. Berliner MNU-Kongress (4./5.9.2003)
Die Bedeutung des Begriffs der Krümmung im Mathematik-Leistungskurs-Unterricht beim Einsatz von CAS (wie z. B. Derive)

3. Berliner MNU-Kongress (2./3.9.2004)
Bézierkurven

4. Berliner MNU-Kongress (25./26.8.2005)
Einsatz des „Voyage 200“ im Wahlpflichtfach Mathematik (Klasse 9)

5. Berliner MNU-Kongress (31.8./1.9.2006)
Markow-Ketten im Leistungskurs

6. Berliner MNU-Kongress (18.9./19.9.2008)
TI-Nspire CAS – eine Technologie mit vielen neuen Anwendungsmöglichkeiten

Workshop mit 3 Schülern unserer Schule zum CAS-Einsatz in der SEK II

7. Berliner MNU-Kongress (10./11.9.2009)

Workshop: Einführung in das Arbeiten mit dem dynamischen Geometriesystem „Geogebra“

8. Berliner MNU-Kongress (23./24.9.2010)

Anregungen für das Arbeiten mit dem dynamischen Geometriesystem „Geogebra“

11. Berliner MNU-Kongress (05./06.9.2013)

CAS-Einsatz von Geogebra" in der SEK II und im CAS Abitur

12. Berliner MNU-Kongress (11./12.9.2014)

Workshop: Konstruktion von Lernumgebungen mit GeoGebra

13. Berliner MNU-Kongress (24./25.9.2015)

Analytische Geometrie und Stochastik mit Geogebra

Wir haben uns auch sehr über einige herausragende zweisemestrige Seminararbeiten von Schülern zu dem Themen „Markow-Ketten“, „Computerunterstütztes Messen mit dem Voyage 200“, „Einfache quantenmechanische Modelle und deren Anwendung in der Chemie“, Die Funktionsweise und der praktische Einsatz verschiedener Sensoren im Untericht der Sekundarstufe II unter besonderer Berücksichtigung der Auswertung mit dem CAS des TI-Nspire", sowie Welche Aussagen lassen sich mit dem Hückel-Molekülorbital-Modell über konjugierte π-Elektronen-Systeme treffen? Eine CAS-gestützte Bearbeitung konkreter Moleküle" gefreut. Diese Schüler haben eindrucksvoll gezeigt, welche neuen Möglichkeiten der Einsatz von Computeralgebrasystemen bietet. Die zuletzt erwähnte Arbeit wurde zudem 2014 mit dem Hans-Riegel-Fachpreis für herausragende wissenschaftliche Arbeit ausgezeichnet! Die Arbeiten der Schüler sind auf unserer Internet-Seite für die Fachbereiche Mathematik und Physik unter ma-phy.de veröffentlicht.

Das Willi-Graf-Gymnasium: Eine von zwei Berliner Modellschulen zur Erprobung der neuesten CAS-Technologie

Wir haben vor einigen Jahren als eine von zwei Berliner Modellschulen als erste die neueste CAS-Technologie erprobt: Den TI-NSpire-CAS. Die Firma Texas-Instruments hatte uns dazu 30 Symbolrechner (sog. Handhelds) und die entsprechende Software für die PC’s in unserem Mathematik-Fachraum kostenlos zur Verfügung gestellt. Die Erprobung erfolgte drei Mal in einer 11. Klasse sowie im Mathematik-Leistungskurs.

Teilnahme des Willi-Graf-Gymnasiums am Projekt der Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung zur Ausweitung der Nutzung von Computer-Algebra-Systemen (CAS) im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II

Unsere Schule hatte die Teilnahme an dem oben genannten Projekt beantragt. Erfreulicherweise wurde unser Antrag angenommen. Dies empfinden wir auch als Bestätigung für unsere Pionierarbeit zum Einsatz von CAS im Mathematikunterricht in den letzten Jahren. Wir gehörten zu den wenigen Pilotschulen, die an diesem Projekt teilnehmen konnten. Unsere Schule wurde ab dem Schuljahr 2009/2010 (für uns kostenlos!) mit weiteren  55 TI-NSpireCAS-Rechnern ausgestattet, so dass alle 10. Klassen mit dieser innovativen und zukunftweisenden Technologie arbeiten können. Inzwischen haben wir in der sog. Qualifikationsphase das "alte" Computeralgebrasystem (Derive) durch das neue System TI-NspireCAS ersetzt. Durch die flächendeckende Verwendung der Rechner in den 10. Klassen werden die Schüler sehr gut auf den Einsatz von CAS in der Oberstufe vorbereitet.

Abschließend seien noch die Kolleginnen und Kollegen des Fachbereichs Mathematik namentlich vorgestellt.

Herr Baumann – Frau Barsch - Herr Cerajewski – Frau Cerajewski – Herr Dr. Döring – Herr Gläser - Frau Hansen - Frau Kube – Frau Renau

Glücklicherweise ist unsere Schule im Fach Mathematik personell qualitativ und quantitativ sehr gut „ausgestattet“. Das ist viel wert, in Zeiten extrem knapper Ressourcen an Mathematiklehrern.

Dr. U. Döring, Fachbereichsleiter Mathematik